Studie | Geselecteerd werk

Orde en chaos in de kwadratische familie

Hoe gaat een eenvoudige deterministische regel over, van evenwicht naar periodiek gedrag en uiteindelijk naar chaos?Zo lang de algebra nog hanteerbaar bleef, onderzocht ik de kwadratische familie f_c(x) = x² + c. Daarna zette ik het analytische project numeriek voort. Vanuit één eenvoudige iteratieregel ontstaat een opeenvolging van stabiele vaste punten, periodeverdubbelingen, chaotische dynamica en opnieuw stabiele periodieke vensters.

Lees de paper (EN)

Waar stabiliteit eindigt

Een vast punt voldoet aan

x2+c=xx^{2}+c=x

en dus

x±∗=1±1−4c2x^{*}_{\pm}=\frac{1\pm\sqrt{1-4c}}{2}

De twee vaste punten bestaan voor c ≤ 1/4, maar bestaan betekent nog niet dat ze stabiel zijn. Een vast punt trekt nabije banen alleen aan als

∣f′(x∗)∣<1\left|f'(x^{*})\right|<1

Voor de onderste tak geeft dat

−34<c<14-\tfrac{3}{4}<c<\tfrac{1}{4}
De twee takken van vaste punten, uitgezet tegen c. De onderste tak is blauw en aantrekkend tussen c = −0,75 en c = 0,25; elders zijn beide takken rood en afstotend; gestippelde verticale lijnen markeren de twee drempels.
De twee takken van vaste punten. De onderste tak is alleen aantrekkend voor −0,75 < c < 0,25.

Bij

c=−34c=-\tfrac{3}{4}

verliest het vaste punt zijn stabiliteit. Het systeem wordt dan niet meteen chaotisch. In plaats daarvan ontstaat een stabiele baan met periode twee. Dat is de eerste periodeverdubbeling.

Een cascade van periodeverdubbelingen

Dezelfde overgang herhaalt zich vervolgens. Een baan van periode twee maakt plaats voor periode vier, daarna acht, zestien en tweeëndertig, terwijl de intervallen tussen opeenvolgende bifurcaties steeds kleiner worden.

OvergangcIntervalVerhouding
1 → 2−0,75000,500004,23374
2 → 4−1,25000,118104,55151
4 → 8−1,36810,025954,64581
8 → 16−1,39400,005594,66394
16 → 32−1,39960,00120—
Tabel 2.2 uit de paper. De eerste twee bifurcatiepunten zijn analytisch bekend; de volgende zijn numeriek bepaald.

De verhoudingen naderen de Feigenbaumconstante,

δ≈4,669201609\delta\approx 4{,}669201609

Al na enkele bifurcaties ligt de vierde verhouding binnen ongeveer 0,11% van deze limietwaarde.

Juist dat maakt het verschijnsel interessanter dan deze ene afbeelding. Dezelfde schaalwet verschijnt in een veel bredere klasse van niet-lineaire systemen die via periodeverdubbeling naar chaos overgaan.

De bifurcatiepunten hopen zich op rond

c∞≈−1,4011552c_{\infty}\approx-1{,}4011552

Voorbij dit accumulatiepunt verschijnt chaotisch gedrag — maar niet overal.

Stabiliteit binnen de chaos

De eerste bifurcaties zijn nog analytisch te behandelen. Daarna wordt de algebra snel te omslachtig en nemen numerieke methoden het over.

Die berekeningen laten zien dat de overgang naar chaos niet het einde van periodiek gedrag betekent. Rond

c≈−1,75c\approx-1{,}75

verschijnt binnen het chaotische gebied opnieuw een stabiele baan, nu met periode drie. Deze ontstaat via een tangentbifurcatie en blijft over een eindig interval van c stabiel.

Chaos is dus geen uniforme toestand. Binnen het chaotische gebied liggen stabiele periodieke vensters.

Periode drie is daarbij bijzonder. Voor continue afbeeldingen van een interval impliceert de stelling van Sharkovskii dat het bestaan van een baan met periode drie ook het bestaan van banen met iedere positieve gehele periode met zich meebrengt.

Een uitzonderlijk eenvoudige iteratieregel kan dus een verrassend rijke verzameling dynamisch gedrag voortbrengen.

Chaos betekent niet ontsnappen

Onvoorspelbaar gedrag en onbegrensd gedrag zijn twee verschillende dingen.

Het laatste deel van de paper onderzoekt welke beginwaarden onder herhaalde iteratie begrensd blijven. Voor c ∈ [−2, 1/4] volstaat de ontsnappingsstraal

R=2R=2

Zodra |xₙ| > 2, geldt

∣xn+1∣=∣xn2+c∣  ≥  ∣xn∣2−∣c∣  >  ∣xn∣|x_{n+1}| = \left|x_n^{2}+c\right| \;\ge\; |x_n|^{2}-|c| \;>\; |x_n|

Vanaf dat moment blijft de absolute waarde van de baan groeien en kan zij niet meer terugkeren naar het begrensde gebied.

Een dichte gestippelde weergave van de Prisoner Set: een breed blauw gebied van begrensde banen, gelaagd met horizontale banden en symmetrische vertakkingen, met rode ontsnappende punten verspreid erboven en eronder.
Blauwe punten blijven onder iteratie begrensd; rode punten voldoen aan het ontsnappingscriterium.

De verzameling van begrensde beginwaarden blijft bestaan, ook lang nadat het oorspronkelijke stabiele vaste punt zijn stabiliteit heeft verloren. Binnen die verzameling liggen periodeverdubbelingscascades, chaotische gebieden en stabiele periodieke vensters naast elkaar.

Dat onderscheid vind ik het meest treffende aspect van het systeem:

Deterministisch betekent niet voorspelbaar, en chaotisch betekent niet onbegrensd.

Lees de volledige paper · 25 p. (EN)

Geschreven voor Programmeren en Experimenteren · BSc Wiskunde · Universiteit van Amsterdam · februari 2026.

← Terug naar Studie