Studie | Geselecteerd werk

Het reproductiegetal reconstrueren uit ziekenhuisopnames

Kan de geschiedenis van een epidemie worden gereconstrueerd uit alleen ziekenhuisopnames?Ik fit een compartimentenmodel op vier jaar Nederlandse COVID-19-ziekenhuisopnames en laat het reconstrueren hoe de transmissie zich in de tijd ontwikkelde — zonder besmettingscijfers, testdata of bron- en contactonderzoek. Het gereconstrueerde reproductiegetal vergelijk ik vervolgens met de reeks die het RIVM onafhankelijk heeft gepubliceerd.

Lees de paper (EN)Code op GitHub ↗

De vraag

Het reproductiegetal is een centrale grootheid bij het begrijpen van een epidemie, maar het wordt niet rechtstreeks waargenomen. Het moet worden afgeleid uit gegevens die we wél kunnen meten.

Tijdens COVID-19 waren positieve tests daarvoor een voor de hand liggende bron. Maar testgedrag veranderde voortdurend: de capaciteit nam toe, de toegang veranderde, de bereidheid om te testen varieerde en veel zelftests werden nooit geregistreerd.

Ziekenhuisopnames hebben een ander karakter. Ze hangen niet af van de beslissing om een test te doen, maar volgen uit een ziekte die ernstig genoeg is om ziekenhuiszorg nodig te maken.

Hoeveel van de onderliggende transmissiegeschiedenis valt te reconstrueren uit alleen ziekenhuisopnames?

Waarom een compartimentenmodel?

Ziekenhuisopnames vertellen ons wanneer iemand in het ziekenhuis is opgenomen. Ze vertellen niet rechtstreeks hoeveel mensen op dat moment vatbaar, besmettelijk of hersteld waren. Toch hangt het reproductiegetal juist af van die verborgen toestand van de populatie.

Een SIRS-model houdt die toestanden expliciet bij.

\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta(t)\,\frac{S I}{N} + \omega R \\[2pt] \frac{dI}{dt} &= \beta(t)\,\frac{S I}{N} - \alpha I \\[2pt] \frac{dR}{dt} &= \alpha I - \omega R \end{aligned}

In plaats van vooraf een vaste vorm voor de transmissie op te leggen, wordt β(t) uit de opnamedata geschat. In het basismodel is die stuksgewijs constant over intervallen van 21 dagen.

Het model moet daarmee twee dingen tegelijk reconstrueren: de verborgen epidemische toestand van de populatie en het transmissiepad dat de waargenomen ziekenhuisopnames kan hebben voortgebracht.

Vier jaar ziekenhuisopnames fitten

Het model is gefit op 1.495 dagen Nederlandse COVID-19-ziekenhuisopnames, van 27 februari 2020 tot 15 april 2024.

De basisspecificatie bevat 75 vrije parameters: 72 transmissiewaarden, een opnameratio, de vertraging tussen besmetting en opname en de initiële besmettelijke populatie. De parameters worden geschat met begrensde niet-lineaire kleinste kwadraten op basis van 48 willekeurige startpunten. De resulterende fit leidt tot een RMSE van 25,1 ziekenhuisopnames per dag.

Het gefitte SIRS-model tegenover de gerapporteerde dagelijkse ziekenhuisopnames over vier jaar. Het model volgt vijf golven nauwkeurig. Genummerde gestippelde verticale lijnen markeren beleidsmomenten. — Het gefitte SIRS-model tegenover de gerapporteerde dagelijkse ziekenhuisopnames · gestippelde lijnen markeren beleidsmomenten

De belangrijkste toets

Dat een model de opnamecurve goed reproduceert, betekent nog niet dat het ook het transmissieproces heeft gereconstrueerd dat die curve heeft voortgebracht. Gelukkig is er hier een onafhankelijke vergelijking beschikbaar.

Het RIVM publiceerde een eigen schatting van het reproductiegetal, gebaseerd op een andere methode en een andere datastroom. Die reeks krijgt het model tijdens het fitten nooit te zien. Pas na het schatten vergelijk ik het gereconstrueerde Rt met de gepubliceerde reeks van het RIVM.

Op de 21-daagse resolutie van het model:

Correlatie met RIVM: 0,804
Overeenstemming in de richting van verandering: 81,5%
Intervallen binnen de 95%-onzekerheidsband van het RIVM: 50,0%

Ter vergelijking: het beste constante reproductiegetal komt slechts in 50% van de gevallen in de richting overeen en ligt in 38,9% van de perioden binnen het RIVM-interval.

Het effectieve reproductiegetal van het model als gouden stippellijn tegenover de gepubliceerde reeks van het RIVM in zwart, met het 95%-interval van het RIVM als grijze band. De twee volgen elkaar nauw van medio 2020 tot het RIVM medio 2023 stopt met publiceren. — Gereconstrueerd Rt in goud tegenover de onafhankelijk gepubliceerde schatting van het RIVM in zwart · de RIVM-reeks is tijdens het fitten nooit gebruikt

Het verrassende resultaat

Het model dat de ziekenhuisopnames het beste fit, is niet het model dat de transmissie het beste reconstrueert.

Kortere transmissie-intervallen geven het model meer flexibiliteit. De fit op de opnames blijft daardoor verbeteren:

Intervallen van 84 dagen: RMSE 51,4
Intervallen van 21 dagen: RMSE 25,1
Intervallen van 7 dagen: RMSE 21,8

AIC kiest daarom het flexibelste model met intervallen van zeven dagen en 219 parameters. Maar juist dat model heeft de laagste correlatie met het RIVM: slechts 0,173.

BIC kiest daarentegen voor het 21-daagse model. Dat leidt tot iets minder nauwkeurige opnames, maar reconstrueert het onderliggende transmissiepatroon aanzienlijk beter.

Twee panelen boven elkaar, uitgezet tegen de intervalbreedte. Boven de AIC- en BIC-curven met cirkels op hun minima, die op verschillende breedtes liggen. Onder de correlatie met het reproductiegetal van het RIVM, die het laagst is precies waar het minimum van AIC ligt. Gestippelde verticale lijnen trekken beide gekozen breedtes door de panelen. — Meer flexibiliteit verbetert de fit op de waargenomen data, maar verslechtert uiteindelijk de reconstructie van het verborgen transmissieproces

De interpretatie is eenvoudig: voorbij een bepaald punt modelleren extra parameters niet langer echte veranderingen in de transmissie, maar steeds meer rapportageruis. Het model wordt beter in het reproduceren van wat is waargenomen en slechter in het reconstrueren van het proces dat die waarnemingen heeft voortgebracht.

Een diagnose zonder externe data

Normaal gesproken is er geen onafhankelijke Rt-reeks beschikbaar. Als die er wel was, zou er immers minder reden zijn om het reproductiegetal uit andere data te reconstrueren. Dat maakt interne diagnostiek belangrijk.

Een nuttige parameter is de geschatte vertraging tussen besmetting en ziekenhuisopname. De precieze waarde kennen we niet, maar we weten wel ongeveer welke waarden fysiologisch plausibel zijn.

Bij verschillende te flexibele specificaties zakt die vertraging naar slechts 1,8–2,2 dagen. Bij intervallen van 10 en 21 dagen blijft ze rond 8,5–9,1 dagen.

Een onwaarschijnlijke vertraging is bewijs tegen een modelspecificatie. Een plausibele vertraging valideert die op zichzelf nog niet.

Transmissie scheiden van ziekenhuisvertraging

Het model kan ook twee gebeurtenissen uit elkaar halen die in de ruwe opnamecurve bijna samenvallen.

De eerste coronamaatregelen gingen in op 15 maart 2020. De ziekenhuisopnames piekten elf dagen later, op 26 maart, gemeten als een gecentreerd zevendaags gemiddelde. Als je alleen naar de opnamecurve kijkt, lijkt het alsof de transmissie nog bijna twee weken bleef stijgen.

De geschatte besmettingsstroom vertelt een ander verhaal. Die piekt op 18 maart — slechts drie dagen na de maatregelen. Het grootste deel van de zichtbare vertraging ontstaat dus daarna, tussen de besmetting en de ziekenhuisopname. Het model schat die vertraging onafhankelijk op 9,1 dagen.

Kort gezegd: de ziekenhuiscurve reageert langzaam omdat ziekenhuisopnames besmettingen pas met vertraging zichtbaar maken.

Het geschatte basisreproductiegetal over vier jaar, getekend als trapfunctie omdat de transmissie stuksgewijs constant is. Het loopt van ongeveer 0,5 tot ongeveer 3,4 en kruist de drempel van één meermaals. Genummerde verticale lijnen markeren beleidsmomenten. — Geschatte R0(t) over de gefitte periode · elke trede is één transmissie-interval van 21 dagen

Over de volledige periode loopt de geschatte waarde R0(t) van 0,50 tot 3,43, met een gemiddelde van 1,72.

Wat verificatie aan het licht bracht

Drie implementatiefouten veranderden de resultaten wezenlijk, terwijl de uiteindelijke fit er op het eerste gezicht nog steeds redelijk uitzag.

Ontbrekende waarnemingen werden aanvankelijk behandeld als dagen met nul opnames.
De vertraging tussen besmetting en opname werd afgerond op hele dagen. Daardoor werd haar numerieke gradiënt nul en kon de optimalisator deze parameter niet goed schatten.
De ODE-solver stapte over discontinuïteiten in β(t) heen zonder de grenzen van de transmissie-intervallen expliciet te respecteren.

Geen van deze problemen was zichtbaar aan de fitkwaliteit alleen. Dat werd een tweede belangrijke les uit het project: een overtuigende fit is onvoldoende bewijs dat het model zich correct gedraagt.

Grenzen van het resultaat

Dit is een retrospectieve reconstructie, geen realtime-schatter. Het model ziet het volledige venster van vier jaar in één keer. Schattingen voor het begin van de epidemie profiteren dus ook van data die pas later beschikbaar kwamen.

Daarnaast wordt de opnameratio constant gehouden, ondanks vaccinatie, nieuwe varianten en veranderende immuniteit in de bevolking. Dat is een sterke vereenvoudiging en beïnvloedt waarschijnlijk vooral na 2021 de absolute schaal van R0(t).

Het model is daarom sterker in het reconstrueren van de vorm en timing van de transmissie dan van de absolute omvang ervan. Ook contrafeitelijke scenario’s uit het model moeten worden gelezen als uitspraken over het gefitte modelsysteem — niet als directe beweringen over wat er in Nederland daadwerkelijk zou zijn gebeurd.

Lees de volledige paper · 41 p. (EN)Code op GitHub ↗

Geschreven voor Simuleren en Modelleren · BSc Wiskunde · Universiteit van Amsterdam · januari 2026. Herzien en gepubliceerd in september 2026.

← Terug naar Studie

Het reproductiegetal reconstrueren uit ziekenhuis­opnames