Studie / Geselecteerd werk

Het reproductiegetal terugwinnen uit ziekenhuisopnames

Kan de geschiedenis van een epidemie worden gereconstrueerd uit alleen ziekenhuisopnames?Ik fitte een compartimentenmodel op vier jaar Nederlandse COVID-19-ziekenhuisopnames en vroeg het te reconstrueren hoe de transmissie in de tijd veranderde — zonder besmettingscijfers, testdata of bron- en contactonderzoek. Het teruggewonnen reproductiegetal werd daarna vergeleken met de reeks die het RIVM onafhankelijk publiceerde.

Lees de paper (EN)Code op GitHub ↗

De vraag

Het reproductiegetal is centraal in het begrijpen van een epidemie, maar het wordt niet direct waargenomen. Het moet worden afgeleid uit iets wat we kunnen tellen.

Tijdens COVID-19 waren positieve tests een voor de hand liggende bron. Maar het testgedrag veranderde voortdurend: de capaciteit groeide, de toegang veranderde, mensen werden meer of minder bereid om te testen, en veel zelftests werden nooit geregistreerd.

Ziekenhuisopnames hebben een ander karakter. Ze ontstaan niet uit de beslissing om een test te laten doen, maar uit ziekte die ernstig genoeg is om ziekenhuiszorg te vereisen.

Hoeveel van de onderliggende transmissiegeschiedenis valt te reconstrueren uit alleen ziekenhuisopnames?

Waarom een compartimentenmodel?

Ziekenhuisopnames vertellen ons wanneer mensen het ziekenhuis in gingen. Ze vertellen niet direct hoeveel mensen op dat moment vatbaar, besmettelijk of hersteld waren. Toch hangt het reproductiegetal precies van die verborgen toestand van de populatie af.

Een SIRS-model houdt die bij:

\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= -\beta(t)\,\frac{S I}{N} + \omega R \\[2pt] \frac{dI}{dt} &= \beta(t)\,\frac{S I}{N} - \alpha I \\[2pt] \frac{dR}{dt} &= \alpha I - \omega R \end{aligned}

In plaats van een vaste vorm voor de transmissie voor te schrijven, wordt β(t) geschat uit de opnamedata zelf. In het basismodel is die stuksgewijs constant over intervallen van 21 dagen.

Het model moet dus zowel de verborgen epidemische toestand afleiden als het transmissiepad dat de waargenomen opnames kan hebben voortgebracht.

Vier jaar opnames fitten

Het model is gefit op 1.495 dagen Nederlandse COVID-19-ziekenhuisopnames, van 27 februari 2020 tot 15 april 2024.

De basisspecificatie bevat 75 vrije parameters: 72 transmissiewaarden, een opnameratio, een vertraging van besmetting tot opname en de initiële besmettelijke populatie. De parameters worden geschat met begrensde niet-lineaire kleinste kwadraten vanuit 48 willekeurige startpunten. De resulterende fit bereikt een RMSE van 25,1 ziekenhuisopnames per dag.

Het gefitte SIRS-model tegenover de gerapporteerde dagelijkse ziekenhuisopnames over vier jaar. Het model volgt vijf golven nauwkeurig. Genummerde gestippelde verticale lijnen markeren beleidsmomenten. — Het gefitte SIRS-model tegenover de gerapporteerde dagelijkse ziekenhuisopnames · gestippelde lijnen markeren beleidsmomenten

De belangrijke toets

Dat een model de opnamecurve reproduceert, betekent niet per se dat het het transmissieproces heeft teruggevonden dat die curve voortbracht. Gelukkig is er een onafhankelijke vergelijking.

Het RIVM publiceert een eigen schatting van het reproductiegetal, berekend met een andere methode en een andere datastroom. Die reeks krijgt het model tijdens het fitten nooit te zien. Na het schatten van het model vergelijk ik dus zijn teruggewonnen Rt met de gepubliceerde Rt van het RIVM.

Op de 21-daagse resolutie van het model:

Correlatie met RIVM: 0,804
Overeenstemming over de richting van verandering: 81,5%
Intervallen binnen de 95%-onzekerheidsband van het RIVM: 50,0%

Ter vergelijking: het beste constante reproductiegetal komt maar in 50% van de gevallen overeen in richting en ligt in 38,9% van de perioden binnen het RIVM-interval.

Het effectieve reproductiegetal van het model als gouden stippellijn tegenover de gepubliceerde reeks van het RIVM in zwart, met het 95%-interval van het RIVM als grijze band. De twee volgen elkaar nauwkeurig van medio 2020 tot het RIVM medio 2023 stopt met publiceren. — Teruggewonnen Rt in goud tegenover de onafhankelijk gepubliceerde schatting van het RIVM in zwart · de RIVM-reeks is tijdens het fitten nooit gebruikt

Het verrassende resultaat

Het model dat de ziekenhuisopnames het best fit, is niet het model dat de transmissie het best terugwint.

Kleinere transmissie-intervallen geven het model meer vrijheid. De fit op de opnames blijft verbeteren:

Intervallen van 84 dagen: RMSE 51,4
Intervallen van 21 dagen: RMSE 25,1
Intervallen van 7 dagen: RMSE 21,8

AIC kiest daarom het flexibelste 7-daagse model, met 219 parameters. Maar zijn correlatie met het RIVM zakt naar slechts 0,173— de slechtste van alle geteste intervalbreedtes.

BIC kiest daarentegen het 21-daagse model. Zijn fit op de opnames is iets slechter, maar zijn teruggewonnen transmissiegeschiedenis is aanzienlijk beter.

Twee panelen boven elkaar, tegen de intervalbreedte. Boven de AIC- en BIC-curves met cirkels op hun minima, die op verschillende breedtes vallen. Onder de correlatie met het reproductiegetal van het RIVM, die het laagst is precies waar het minimum van AIC zit. Gestippelde verticale hulplijnen trekken beide gekozen breedtes door elk paneel. — Meer flexibiliteit verbetert de fit op de waargenomen data, maar verslechtert uiteindelijk het terugwinnen van het verborgen transmissieproces

De interpretatie is eenvoudig: voorbij een bepaald punt lossen extra parameters geen echte veranderingen in de transmissie meer op, maar absorberen ze rapportageruis. Het model wordt beter in het reproduceren van wat is waargenomen en slechter in het terugwinnen van wat het voortbracht.

Een diagnose zonder externe data

Normaal is er geen onafhankelijke Rt-reeks beschikbaar. Als die er was, zou er minder reden zijn om hem überhaupt te reconstrueren. Dat maakt interne diagnostiek belangrijk.

Een nuttige parameter is de geschatte vertraging tussen besmetting en ziekenhuisopname. We kennen de exacte waarde niet, maar we weten ongeveer wat fysiologisch plausibel is.

Bij verschillende te flexibele specificaties zakt de geschatte vertraging in tot 1,8–2,2 dagen. Op de resoluties van 10 en 21 dagen blijft ze rond de 8,5–9,1 dagen. Dat geeft een nuttige eenzijdige diagnose:

Een onwaarschijnlijke vertraging is bewijs tegen een modelspecificatie. Een plausibele vertraging valideert die op zichzelf niet.

Transmissie scheiden van ziekenhuisvertraging

Het model scheidt ook twee gebeurtenissen die in de ruwe opnamecurve bijna identiek lijken.

De coronamaatregelen gingen in op 15 maart 2020. De ziekenhuisopnames piekten 11 dagen later, op 26 maart, gemeten op een gecentreerd zevendaags gemiddelde. Letterlijk genomen zou dat suggereren dat de transmissie bijna twee weken bleef stijgen.

De gefitte besmettingsstroom vertelt een ander verhaal. Die piekt op 18 maart — maar drie dagen na de maatregelen. Het grootste deel van de zichtbare vertraging komt dus daarna, uit de tijd tussen besmetting en ziekenhuisopname. Het model schat die vertraging onafhankelijk op 9,1 dagen.

Met andere woorden: de ziekenhuiscurve draaide langzaam omdat ziekenhuizen besmettingen laat waarnemen.

Het geschatte basisreproductiegetal over vier jaar, getekend als trapfunctie omdat de transmissie stuksgewijs constant is. Het loopt van ongeveer 0,5 tot ongeveer 3,4 en kruist de drempel van één herhaaldelijk. Genummerde verticale lijnen markeren beleidsmomenten. — Geschatte R0(t) over de gefitte periode · elke trede is één transmissie-interval van 21 dagen

Over het hele venster loopt de geschatte R0(t) van 0,50 tot 3,43, met een gemiddelde van 1,72.

Wat verificatie aan het licht bracht

Drie implementatiefouten veranderden de resultaten wezenlijk, terwijl de fit er redelijk uit bleef zien.

Ontbrekende waarnemingen werden aanvankelijk behandeld als nul opnames.
De rapportagevertraging werd afgerond op hele dagen, waardoor haar numerieke gradiënt nul was en de optimalisator haar niet kon schatten.
De ODE-solver stapte over discontinuïteiten in β(t) heen zonder de intervalgrenzen expliciet te respecteren.

Geen van deze problemen was zichtbaar aan de goodness of fit alleen. Dat werd een tweede les van het project: een overtuigende curve is onvoldoende bewijs dat het model eronder zich correct gedraagt.

Grenzen van het resultaat

Dit is een retrospectieve reconstructie, geen realtime schatter. Het model ziet het hele venster van vier jaar in één keer, dus vroege schattingen profiteren van latere data.

De opnameratio wordt bovendien constant gehouden, ondanks vaccinatie, varianten en veranderende immuniteit in de bevolking. Dat is een sterke vereenvoudiging en beïnvloedt waarschijnlijk de absolute schaal van R0(t), vooral na 2021.

Het model is daarom sterker in het terugwinnen van de vorm en timing van de transmissie dan van de absolute omvang. En elk contrafeitelijk scenario uit het model moet worden gelezen als een uitspraak over het gefitte systeem, niet als een directe bewering over wat er in Nederland zou zijn gebeurd.

Lees de volledige paper · 41 p. (EN)Code op GitHub ↗

Geschreven voor Simuleren en Modelleren · BSc Wiskunde · Universiteit van Amsterdam · januari 2026. Herzien en gepubliceerd in september 2026.

← Terug naar Studie

Het reproductiegetal terugwinnen uit ziekenhuis­opnames